Question

如图甲，⊙ O 的直径 AB ＝2，圆上两点 C 、 D 在直径 AB 的两侧，且∠ CAB ＝ ，∠ DAB ＝ .沿直径 AB

如图甲，⊙ O 的直径 AB ＝2，圆上两点 C 、 D 在直径 AB 的两侧，且∠ CAB ＝ ，∠ DAB ＝ .沿直径 AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙)， F 为 BC 的中点， E 为 AO 的中点．根据图乙解答下列各题： (1)求三棱锥 C － BOD 的体积；(2)求证： CB ⊥ DE ；(3)在 上是否存在一点 G ，使得 FG ∥平面 ACD ？若存在，试确定点 G 的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1） （2）见解析（3） G 为 的中点

(1)∵ C 为圆周上一点，且 AB 为直径，∴∠ C ＝ ， ∵∠ CAB ＝ ，∴ AC ＝ BC ， ∵ O 为 AB 的中点，∴ CO ⊥ AB ， ∵ AB ＝2，∴ CO ＝1. ∵两个半圆所在平面 ACB 与平面 ADB 互相垂直且其交线为 AB ， ∴ CO ⊥平面 ABD ，∴ CO ⊥平面 BOD . ∴ CO 就是点 C 到平面 BOD 的距离， S △ BOD ＝ S △ ABD ＝ × ×1× ＝ ， ∴ V C － BOD ＝ S △ BOD · CO ＝ × ×1＝ . (2)证明：在△ AOD 中，∵∠ OAD ＝ ， OA ＝ OD ， ∴△ AOD 为正三角形， 又∵ E 为 OA 的中点，∴ DE ⊥ AO ， ∵两个半圆所在平面 ACB 与平面 ADB 互相垂直且其交线为 AB ， ∴ DE ⊥平面 ABC . 又 CB ?平面 ABC ，∴ CB ⊥ DE . (3)存在满足题意的点 G ， G 为 的中点．证明如下： 连接 OG ， OF ， FG ， 易知 OG ⊥ BD ， ∵ AB 为⊙ O 的直径， ∴ AD ⊥ BD ， ∴ OG ∥ AD ， ∵ OG ?平面 ACD ， AD ?平面 ACD ， ∴ OG ∥平面 ACD . 在△ ABC 中， O ， F 分别为 AB ， BC 的中点， ∴ OF ∥ AC ， ∴ OF ∥平面 ACD ， ∵ OG ∩ OF ＝ O ， ∴平面 OFG ∥平面 ACD . 又 FG ?平面 OFG ，∴ FG ∥平面 ACD .