已知函数f(x)=(x2-ax)ex(a∈R)(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递减区间.(2)若函数f(x)在(-

已知函数f(x)=(x2-ax)ex(a∈R)(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递减区间.(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递减,求a的取值范围.(3)函数f(... 已知函数f(x)=(x2-ax)ex(a∈R)(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递减区间.(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递减,求a的取值范围.(3)函数f(x)可否为R上的单调函数,若是,求出a的取值范围,若不是,请说明理由. 展开
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浦雁香
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(1)当a=2时,f(x)=(x2-2x)ex
∴f′(x)=(2x-2)ex+(x2-2x)ex=(x2-2)ex,令f′(x)<0即(x2-2)ex<0,
∴x2-2<0,∴-
2
<x<
2
,∴函数f(x)的单调递减区间是(-
2
2
).
(2)f′(x)=(2x-a)ex+(x2-ax)ex=[x2+(2-a)x-a]ex
∵f(x)在(-1,1)上单调递减,∴x∈(-1,1)时,f′(x)≤0恒成立,
即x∈(-1,1)时,x2+(2-a)x-a≤0恒成立.即a≥
x2+2x
x+1
=x+1?
1
x+1
对一切x∈(-1,1)恒成立,令g(x)=x+1?
1
x+1
g(x)=1+
1
(x+1)2
>0,
∴g(x)在(-1,1)上是增函数.∴g(x)≤1+1?
1
1+1
3
2
,a
3
2

即a的取值范围是[
3
2
,+∞
).
(3)∵f′(x)=[x2+(2-a)x-a]ex,设t=x2+(2-a)x-a,
△=(2-a)2+4a=a2+4>0,∴x∈R时,t不恒为正值,也不恒为负值.
即f′(x)的值不恒正,也不恒负,故f(x)在R上不可能单调.
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