Question

已知函数f（x）=（x+2）ln（x+1）-ax2-x（a∈R），g（x）=ln（x+1）．（Ⅰ）若a=0，F（x）=f（x）-g（x）

已知函数f（x）=（x+2）ln（x+1）-ax2-x（a∈R），g（x）=ln（x+1）．（Ⅰ）若a=0，F（x）=f（x）-g（x），求函数F（x）的极值点及相应的极值；（Ⅱ）若对于任意x2＞0，存在x1满足x1＜x2且g（x1）=f（x2）成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）F（x）=f（x）-g（x）=（x+1）ln（x+1）-x，F′（x）=ln（x+1），x∈（-1，0）F′（x）＜0，F（x）为减函数；x∈（0，+∞），F′（x）＞0，F（x）为增函数，
所以F（x）只有一个极小值点x=0，极小值为0．…（4分）
（Ⅱ） 设G(x)＝ln(x+1)?f(x2)＝ln(x+1)?[(x2+2)ln(x2+1)?ax22?x2]
依题意即求 G（x）在（-1，x₂）上存在零点时a的取值范围．
又当x→-1时，G（x）→-∞，且G（x）在定义域内单调递增，
所以只需要G（x₂）＞0在（0，+∞）上恒成立．
即ln(x2+1)?[(x2+2)ln(x2+1)?ax22?x2]＞0，在（0，+∞）上恒成立．
即(x2+1)ln(x2+1)?ax22?x2＜0，在（0，+∞）上恒成立．…（7分）
1°若a=0，显然不成立，因为由第一问知F（x）=（x+1）ln（x+1）-x在（0，+∞）为增函数，
故F（x）＞F（0）=0；
2°∵x+1＞0，即ln(x+1)?

ax2+x

x+1

＜0在（0，+∞）恒成立，
不妨设h(x)＝ln(x+1)?

ax2+x

x+1

，x∈（0，+∞）h′(x)＝

x(?ax+1?2a)

(x+1)2

，x∈(0，+∞)，h′(x)＝

x(?ax+1?2a)

(x+1)2

＝0，x1＝0，x2＝

1?2a

a

，…（9分）
若a＜0，则x2＝

1?2a

a

＜0，若x＞0，h′（x）＞0，所以h（x）为增函数，h（x）＞h（0）=0（不合题意），
若0＜a＜

1

2

，若x∈(0，

1?2a

a

)，h′（x）＞0，h（x）为增函数，h（x）＞h（0）=0（不合题意），
若a≥

1

2

，若x∈（0，+∞），h′（x）＜0，h（x）为减函数，h（x）＜h（0）=0（符合题意），
综上所述，若x＞0时，h（x）＜0f（x）＜0恒成立，
则a≥

1

2

．…（12分）