Question

在直角坐标系中，定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|，现

在直角坐标系中，定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|，现给出四个命题：①已知P（1，3），Q（sin2x，cos2x），x∈R，则d（P，Q）为定值；②用|PQ|表示P，Q两点间的“直线距离”，那么|PQ|≥22d（P，Q）；③已知P为直线y=x+2上任一点，O为坐标原点，则d（P，Q）的最小值为2；④已知P，Q，R三点不共线，则必有d（P，Q）+d（Q，R）＞d（P，Q）以上命题正确的是（　　）A．②③B．①④C．①②D．①②④

Answer 1

（1）若P（1，3），Q（sin²x，cos²x）（α∈R），
则d（P，Q）=|1-sin²x|+|3-cos²x|=cos²x+2+sin²x=3为定值，故①正确；
（2）|PQ|表示P，Q两点间的“直线距离”，那么|PQ|≤d（P，Q）≤

2

|PQ|，
即d（P，Q）≥|PQ|≥

2

2

d（P，Q），故②正确；
（3）设P（x，y），O（0，0），则d（0，P）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|x|+|y|=|x|+|x+2|，表示数轴上的x到2和0的距离之和，其最小值为2，故③不正确；
（4）∵P，Q，R三点不共线，则d（Q，R）＞0，故d（P，Q）+d（Q，R）＞d（P，Q），故④正确；
故选：D．