Question

已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜-xf′（x），则不等式f（x+1）

已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜-xf′（x），则不等式f（x+1）＞（x-1）f（x2-1）的解集是______．

Answer 1

设g（x）=xf（x），
则g'（x）=[xf（x）]'
=x'f（x）+xf'（x）
=xf′（x）+f（x）＜0，
∴函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，
∵f（x+1）＞（x-1）f（x²-1），x∈（0，+∞），
∴（x+1）f（x+1）＞（x+1）（x-1）f（x²-1），
∴（x+1）f（x+1）＞（x²-1）f（x²-1），
∴g（x+1）＞g（x²-1），
∴x+1＜x²-1，
解得x＞2．
故答案为：（2，+∞）．