Question

已知函数f（x）=b?ax（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．（1）试确定f

已知函数f（x）=b?ax（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．（1）试确定f（x）的解析式；（2）若不等式（1a）x+（1b）x≥m在x∈（-∞，1]时恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

（1）将点A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b?a^x，
得

6＝b?a 24＝b?a3

，结合a＞0且a≠1得b=3，a=2，
∴f（x）=3?2^x．
（2）不等式 （

1

2

）^x+（

1

3

）^x≥m在x∈（-∞，1]时恒成立，
只需m≤[（

1

2

）^x+（

1

3

）^x]_min即可，
易知函数y=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x在x∈（-∞，1]上是减函数，
∴m≤[（

1

2

）^x+（

1

3

）^x]_min=

1

2

+

1

3

=

5

6

．
故实数m的最大值为

5

6

．