Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=2．E、F分别为PA、PD的中点．（1）求证：

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=2．E、F分别为PA、PD的中点．（1）求证：EF∥面PBC；（2）求证：PA⊥平面ABCD；（3）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

解答：证明：（1）∵E、F分别为PA、PD的中点
∴EF∥AD
又∵BC∥AD
∴EF∥BC------------（2分）
且EF?面PBC，BC?面PBC
∴EF∥面PBC------------（3分）
（2）∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA＝1，PD＝

2

∴PD²=PA²+AD²，
∴PA⊥AD------------（5分）
又∵PA⊥CD，AD∩CD=D
∴PA⊥平面ABCD-----------（6分）
（3）由（2）知PA⊥平面ABCD，所以四棱锥P-ABCD的高PA=1，
又∵底面是边长为1的正方形，
∴V四棱锥P?ABCD＝

1

3

S正方形ABCD?PA＝

1

3

×1×1×1＝

1

3

---------（8分）