Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E是BC上的一点，过点C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥CB交CF的延长线于点D

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E是BC上的一点，过点C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥CB交CF的延长线于点D．（1）求证：AE=CD；（2）若BD=5cm，BC=12cm，求CF的长．

Answer 1

（1）∵BD⊥CB，∠ACB=90°，
∴∠D+∠BCD=∠AEC+∠BCD=90°，
∴∠D=∠AEC，
在△DBC和△ECA中，

∠D＝∠AEC ∠DBC＝∠ECA BC＝CA

，
∴△DBC≌△ECA（AAS），
∴AE=CD；

（2）∵BD=5cm，BC=12cm，
∴DC=

BD2+BC2

=13cm，
∴AE=13cm，
∵EC=BD=5cm，AC=BC=12cm，
∴在Rt△ECA中，S_△ECA=

1

2

AE×FC=

1

2

AC×EC，
∴FC=

60

13

cm．