Question

一题高考数学题，要两种方法（文科的方法和理科空间向量的方法）

如题，如图，谢谢！

Answer 1

必定少了条件BD=2AE
(1)取BC中点G,连接FG,AG,则FG∥=BD/2∥=AE
∴四边形AEFG是平行四边形,∴EF∥AG
∵AG包含於面ABC,∴EF∥AG
几何法
(2)勾股定理得CE=3√5,CD=6√2,DE=3√5
∴EF⊥CD
EF=AG=ACsin60°=3√3,∴S△CDE=1/2*EF*CD=9√6
又∵BD∥AE,∴BD∥面ACE,∴D到面ACE距离=B到面ACE距离
作BH⊥AC於H,∵AE⊥面ABC,∴AE⊥BH,∴BH⊥面ACE
∴BH=BCsin60°=3√3是B到面ACE的距离
S△ACE=1/2*AC*AE=9,体积法得A到面CDE距离d=S△ACE*BH/S△CDE=3/√2

向量法
(2)取AB中点O,连接OC,过O作l⊥面ABC
以OA,OC,l为轴建系,则A(3,0,0),C(0,3√3,0),E(3,0,3),D(-3,0,6)
CE→=(3,-3√3,3),CD→=(-3,-3√3,6)
设面CDE法向量为n→=(x,y,2),则
3x-3√3y+6=0
-3x-3√3y+12=0
解得x=1,y=√3,∴n→=(1,√3,2)
AC→=(-3,3√3,0),∴d=|AC→·n→|/|n→|=|-3+3√3*√3+0|/√(1+3+4)=3/√2

Answer 2

答：过F点做BD的平行线，平行线交BC于点N（这样FN平行BD），连接AN

追问

然后呢

追答

由已知条件BD平行AE，BD垂直于面ABC，所以AE也垂直面ABC，又因为FN平行BD,证明AEFN为矩形，所以EF平行AN，ef平行面abc

Answer 3

缺少条件不?没说AE和BD的关系？

追问

没有啊

追答

你在去查查吧，否则，第一步真的没法证明！应该有一个BD=2AE的条件