Question

如图：在 □ ABCD中，对角线 与BD交于点O,过点O的直线EF分别与AD、BC交于点E、F， EF⊥AC，连结AF、CE.

如图：在 □ ABCD中，对角线 与BD交于点O,过点O的直线EF分别与AD、BC交于点E、F， EF⊥AC，连结AF、CE. （1）求证：OE=OF（2）请判断四边形AECF是什么特殊四边形，请证明你的结论；（3）若∠EAF=60°，AE=6，求四边形AECF的面积.

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Answer 1

（1）见解析（2）菱形，证明见解析（3）

(1)证明:在 □ ABCD中，对角线 与BD交于点O,得 AE∥CF, OA=OC，∠AOE=∠COF, ∴∠OAE=∠OCF ∴△AOE≌△COF （ASA） ∴ OE=OF--------------3分 （2）四边形AECF是菱形。理由如下： ∵OE=OF，OA=OC ∴四边形AECF是平行四边形。（对角线互相平分的四边形是平行四边形） 又 ∵EF⊥AC ∴ □ 。（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）-----3分 （3）在菱形AECF中，EF⊥AC，∠EAF=60°,AE=6 ∴ ∠EAC=30°(菱形的对角线平分每组对角) ，∠AOE=90° ∴ OE= (直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半) 在Rt△AOE中，由勾股定理，得AO= = ----2分 ∴EF=2OE=6，AC=2AO= 菱形AECF= = ----2分 （1）在平行四边形，可得一组内错角，一组对顶角分别相等，又有一边相等，则证明△AOE≌△COF即可． （2）证明AECF是平行四边形，然后于EF⊥AC得出AECF是菱形； （3）先求出AE、AO的长，从而得出EF、AC的长，最后求出菱形AECF的面积。