Question

证明：当n为大于2的整数时，n5-5n3+4n能被120整除

证明：当n为大于2的整数时，n5-5n3+4n能被120整除．

Answer 1

解： ∵ n5-5n3+4n
=n(n的4次方-5n²+4)
=n(n²-4)(n²-1)
大于2的最小整数是3
∴ 当n=3时 n(n²-4)(n²-1)=3×5×8=120
当n=4时 原式=4×12×15=120×6
设n=k时能被120 整除 ak=k(k²-4)(k²-1)
当n=k+1时
a(k+1)=(k+1)[(k+1)²-4][(k+1)²-1]
=(k+1)(k+3)(k-1)(k+2)k
=k(k²-1)(k+2)(k+3)
=k(k²-1)(k²+5k+6)
=k(k²-1)[k²-4+5k+10]
=k(k²-4)(k²-1)+5k(k²-1)(k+2)
可见k(k²-4)(k²-1)能被120整除，
5k(k²-1)(k+2)当k=3时为5×3×4×8=480也能被120整除
∴n5-5n3+4n能被120整除。

Answer 2

证明：∵n⁵-5n³+4n=（n-2）（n-1）n（n+1）（n+2）．
∴对一切大于2的正整数n，数n⁵-5n³+4n都含有公约数1×2×3×4×5=120，
∴当n为大于2的整数时，n⁵-5n³+4n能被120整除．