Question

已知函数f（x）=12e2x-ax（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若a=1，函

已知函数f（x）=12e2x-ax（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若a=1，函数g（x）=（x-m）f（x）-14e2x+x2+x在区间（0，+∞）上为增函数，求整数m的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）定义域为（-∞，+∞），f′（x）=e^2x-a，
当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；…（2分）
当a＞0时，由f′（x）=0得x＝

lna

2

，且当x∈(?∞，

lna

2

)时，f′（x）＜0，
当x∈(

lna

2

，+∞)时f′（x）＞0，
所以f（x）在x∈(?∞，

lna

2

)为减函数，在x∈(

lna

2

，+∞)为增函数．…（4分）
（Ⅱ）当a=1时，g(x)＝(x?m)(

1

2

e2x?x)?

1

4

e2x+x2+x，
若g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，
则g′（x）=（x-m）（e^2x-1）+x+1≥0在（0，+∞）恒成立，
即m≤

x+1

e2x?1

+x在（0，+∞）恒成立，
令h(x)＝

x+1

e2x?1

+x，x∈（0，+∞）；…（6分）
h′(x)＝

e2x(e2x?2x?3)

(e2x?1)2

，x∈（0，+∞）；令L（x）=e^2x-2x-3，
可知L(

1

2

)＝e?4＜0，L（1）=e²-5＞0，
又当x∈（0，+∞）时L′（x）=2e^2x-2＞0，
所以函数L（x）=e^2x-2x-3在x∈（0，+∞）只有一个零点，…（8分）
设为a，即e^2a=2a+3，且a∈(

1

2

，1)；
由上可知当x∈（0，a）时L（x）＜0，即h′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时L（x）＞0，即h′（x）＞0，
所以h(x)＝

x+1

e2x?1

+x，x∈（0，+∞），有最小值h(a)＝

a+1

e2a?1

+a，…（10分）
将e^2a=2a+3代入上式可得h（a）=

1

2

+a，又因为a∈(

1

2

，1)，所以h（a）∈(1，

3

2

)，
由于m≤h（x）恒成立，所以m≤h（a），又因为m为整数，
所以m≤1，所以整数m的最大值为1．…（12分）

Answer 2

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