Question

若数列{an}的前n项和为Sn=3n2+n2（n∈N*）；（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）设数列{1anan+1}的前n

若数列{an}的前n项和为Sn=3n2+n2（n∈N*）；（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）设数列{1anan+1}的前n项和为Tn，是否存在实数M，使得M≥Tn对一切正整数都成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

满分（14分）．
解：（Ⅰ）由题Sn＝

3n2+n

2

(n∈N*)，
n≥2时Sn?1＝

3(n?1)2+n?1

2

…（2分）
所以an＝Sn?Sn?1＝

3n2+n

2

?

3(n?1)2+n?1

2

＝3n?1，…（5分）
n=1时a₁=S₁=2也适合上式，…（6分）
所以  a_n=3n-1（n∈N^*）…（7分）
（Ⅱ）  由（Ⅰ）a_n=3n-1（n∈N^*）
所以

1

anan+1

＝

1

(3n?1)(3n+2)

＝

1

3

(

1

3n?1

?

1

3n+2

)…（9分）
Tn＝

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

=

1

3

[(

1

2

?

1

5

)+(

1

5

?

1

8

)+(

1

8

?

1

11

)+…+(

1

3n?1

?

1

3n+2

)]…（10分）
=

1

3

(

1

2

?

1

3n+2

)＜

1

6

…（12分）
使得M≥T_n对一切正整数都成立，即M≥

1

6

故存在M的最小值

1

6

．…（14分）