Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明数列{an

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明数列{an-2}为等比数列；（Ⅲ）求数列{nan}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列，
∴（a_n+1+S_n+1）-（a_n+S_n）=2，即an+1＝

an+2

2

，（3分）
∵a₁=1，∴a2＝

3

2

， a3＝

7

4

；（5分）
（Ⅱ）证明：由题意，得a₁-2=-1，∵

an+1?2

an?2

＝

an+2 2 ?2

an?2

＝

1

2

，
∴{a_n-2}是首项为-1，公比为

1

2

的等比数列；（9分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得an?2＝?(

1

2

)n?1，∴nan＝2n?n?(

1

2

)n?1，（10分）
∴Tn＝(2?1)+(4?2?

1

2

)+[6?3?(

1

2

)2]++[2n?n?(

1

2

)n?1]，
∴Tn＝(2+4+6++2n)?[1+2?

1

2

+3?(

1

2

)2++n?(

1

2

)n?1]，
设An＝1+2?

1

2

+3?(

1

2

)2++n?(

1

2

)n?1①
∴

1

2

An＝

1

2

+2?(

1

2

)2+3?(

1

2

)3++n?(

1

2

)n，②
由①-②，得

1

2

A

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