Question

（2014?玉林二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（4，0），B（-2，0）两点，交y轴于点C（0，4）．（1）

（2014?玉林二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（4，0），B（-2，0）两点，交y轴于点C（0，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度沿线段BA方向运动，同时动直线l从x轴出发，以每秒1个单位长度沿y轴方向平行移动，直线l交AC与D，交BC于E，当点Q运动到A点时，两者都停止运动．设运动时间为t秒．△QOD的面积为S．①写出S与t的函数关系式，并求S=12S△BOC时t的值；②在点Q及直线l的运动过程中，是否存在t的值使∠EQD=90°？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）把点A（4，0），B（-2，0），C（0，4）代入抛物线y=ax²+bx+c得：

4a?2b+c＝0 16a+4b+c＝0 c＝4

，
解得

a＝? 1 2 b＝1 c＝4

∴二次函数的解析式为：y=-

1

2

x²+x+4；

（2）由题意，得：BQ=2t，y_E=y_D=t，S_△BDC=

1

2

BO?OC=

1

2

×2×4=4，
①s与t的函数关系式为

s＝?t2+t(0≤t＜1) s＝t2?t(1≤t≤3)

Ⅰ当0≤t＜1时，-t²+t=2
整理得：t²-t+2=0，次方程无实数根；
Ⅱ当1≤t≤3时，t²-t=2
解得：t=2或t=-1，
综上，t=2；
②存在．若∠DQE=90°时，过点D作DF⊥AB于F，过点E作EG⊥AB于G，则△BGE∽△BOC，
∴

GB

OB

＝

GE

OC

，
∴BG=

OB?EG

OC

＝

2t

4

=

t

2

，
∴QE=2t-

t

2

=

3t

2

．
同理可求AF=t，DF=t，QF=AB-BQ-AF=6-2t-t=6-3t，
易得△EGQ∽△QDF，
∴

EG

QF

＝

QG

DF

∴

t

6?3t

＝

3t 2

t

，
∴t=

18

11

．