Question

已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为22，P是椭圆上一点，且△PF1F2面积的

已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为22，P是椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值等于2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M（0，2）作直线l与直线MF2垂直，试判断直线l与椭圆的位置关系．（Ⅲ）直线y=2上是否存在点Q，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵点P在椭圆上，∴-b≤y_p≤b，
∴当|y_p|=b时，△PF₁F₂面积最大，
且最大值为

1

2

|F1F2||yp|=

1

2

?2c?b＝bc＝2，
又∵e=

c

a

＝

2

2

，
∴a²=4，b²=c²=2，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

＝1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₁（

2

，0），
∴kMF1=-

2

2

=-

2

，
∴直线l的斜率kl＝

2

2

，直线l的方程

2

2

x+2，
由

x2 4 + y2 2 ＝1 y＝ 2 2 x+2

，消去y，整理，得：
x2+2

2

x+2＝0，△＝(2

2

)2?8＝0，
∴直线l与椭圆相切．
（Ⅲ）假设直线y=2上存在点Q满足题意，
设Q（m，2），当m=±2时，从Q点所引的两条切线不垂直．
当m≠±2时，设过点Q向椭圆所引的切线的斜率为k，则l的方程为y=k（x-m）+2，
由

y＝k(x?m)+2 x2 4 + y2 2 ＝1

，消去y，整理得：
（1+2k²）x²-4k（mk-2）x+2（mk-2）²-4=0，
∵△=16k²（mk-2）²-4（1+2k²）[2（mk-2）²-4]=0，
∴（m²-4）k²-4mk+2=0，*
设两条切线的斜率分别为k₁，k₂，
则k₁，k₂是方程（m²-4）k²-4mk+2=0的两个根，
∴k₁k₂=

2

m2?4

=-1，
解得m=±

2

，点Q坐标为（

2

，2），或（-

2

，2）．
∴直线y=2上两点（

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