Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长23．（1）求双曲线的方程（2）若直线l：y=kx+2与双曲

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长23．（1）求双曲线的方程（2）若直线l：y=kx+2与双曲线恒有两个不同的交点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer 1

（1）∵中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2

3

，
∴2a＝2

3

，a＝

3

，c＝2，b＝1，
∴双曲线的方程为

x2

3

?y2＝1；
（2）将y=kx+

2

代入双曲线消去y得（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0．
由直线l与双曲线交于不同的两点得

1?3k2≠0 △＝36(1?k2)＞0

即k²≠

1

3

且k²＜1．①
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），则x_A+x_B=

6 2 k

1?3k2

，x_Ax_B=

?9

1?3k2

．
由∠AOB为锐角，得x_Ax_B+y_Ay_B＞0，
即x_Ax_B+y_Ay_B=x_Ax_B+（kx_A+

2

）（kx_B+

2

）=（k²+1）x_Ax_B+

2

k（x_A+x_B）+2
=

3k2+7

3k2?1

＞0．②

∵?3k2?7＜0

，
∴1?3k2＜0
综上：k∈(?1，?

3

3

)∪(

3

3

，1)