Question

已知函数f(x)=a的x次方-a的-x次方(a>0且a不等于1) (1)判断函数y=f(x)的单调性

Answer 1

(1) f(x)=a^x-a^(-x) f(-x)=a^(-x)-a^x =-[a^x-a^(-x)] =-f(x) 函数f(x)是奇函数 (2) 当a>1时 ,f(x)=a^x-a^(-x)在R上单调递增, 当0<a<1时f(x)=a^x-a^(-x)在R上单调递减,下面给予证明 设x1<x2 f(x1)-f(x2)=a^x1-a^(-x1)-[a^x2-a^(-x2)] =(a^x1-a^x2)-(1/a^x1-1/a^x2) =(a^x1-a^x2)(a^x1*a^x2+1)/a^x1*a^x2 a^x1>0,a^x2>0 当a>1时,x1<x2,a^x1<a^x2 所以f(x1)<f(x2)f(x)=a^x-a^(-x)在R上单调递增, 当0<a<1时,x1<x2,a^x1>a^x2 所以f(x1)>f(x2)f(x)=a^x-a^(-x)在R上单调递减,

Answer 2

f(x)=a^x-a^(-x) 取x1<x2 f(x1)-f(x2) =a^x1-a^(-x1)-a^x2+a^(-x2) =(a^x1-a^x2)+(a^x1-a^x2)/a^(x1+x2) =(a^x1-a^x2)(1+1/a^(x1+x2)) 若0<a<1，则a^x1>a^x2 f(x1)-f(x2)>0 则f(x)为减函数 若a>1，则a^x1<a^x2 f(x1)-f(x2)<0 则f(x)为增函数