Question

函数数学。

1.已知f(x)=大根号x的平方-1.试判断f（x)在[1，+∞）上的单调性，并证明。
2.已知f(x),g(x)在（a,b)上是增函数，且a<g<b，求证：f(g(x))在（a,b)上也是增函数。

Answer 1

f（x）=√(x^2-1)
1、判定f（x)在[1，+∞）上的单调递增的
证：令x1>x2>=1
则x1^2>x2^2>=1
x1^-1>x2^2-1>=0
所以√（x1^2-1)>√(x2^2-1)>=0
所以f（x1）>f(x2)>=0
所以f（x)在[1，+∞）上的单调递增的。

2、证：g(x)在（a,b)上是增函数，
g（a）<g（b）
又a<g<b
所以a<g（a）<g（b）<b
而f（x）在（a，b）是增函数
所以f(g(x))在（a,b)上也是增函数

Answer 2

1.x的平方-1在[1，+∞）上单调递增，令u=x的平方-1，又因为根号u单调递增，所以f（x)在[1，+∞）上单调递增
2.令g(x)=u在（a,b)上是增函数，a<u<b，又因为f(x)在（a,b)上是增函数，所以f(u)在（a,b)上也是增函数，所以f(g(x))在（a,b)上也是增函数。