Question

（10分）若△ABC和△ADE均为等边三角形，M、N分别是BE、CD的中点．(1)当△ADE绕A点旋转到如图①的位置时

（10分）若△ABC和△ADE均为等边三角形，M、N分别是BE、CD的中点．(1)当△ADE绕A点旋转到如图①的位置时，求证：CD=BE，△AMN是等边三角形； (2) 如图②，当∠EAB=30°，AB＝12，AD= 时，求AM的长．

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Answer 1

（1）证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°. ∵∠BAE=∠BAC-∠EAC，∠DAC=∠EAD-∠EAC， ∴∠BAE=∠DAC. ∴△ABE≌△ACD. ∴CD=BE.    ……………………………………………………………………1分 ∠ABE=∠ACD． ∵M、N分别是BE、CD的中点， 即BM= BE，CN= CD. ∴BM= CN. 又AB=AC， ∴△ABM≌△ACN． ∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．  ………………………………………………2分 ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠CAB=60°． ∴△AMN是等边三角形．    …………………………………………………3分 （2）解：作EF⊥AB于点F， 在Rt△AEF中， ∵∠EAB=30°，AE=AD= ， ∴EF= .    …………………………………………………………………4分 ∵M是BE中点， 作MH⊥AB于点H， ∴MH∥EF，MH= EF= .    ……………………………………………5分 取AB中点P，连接MP，则MP∥AE，MP= AE. ∴∠MPH=30°，MP= ． ∴在Rt△MPH中，PH= . ∴AH=AP+PH= .   .………………………………………………………6分 在Rt△AMH中，AM= . .…………………………7分

略