Question

已知双曲线C的渐近线为 y=± 3 x 且过点M（1， 2 ）．（1）求双曲线C的方程；

已知双曲线C的渐近线为 y=± 3 x 且过点M（1， 2 ）．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线y=ax+1与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值．

Answer 1

（1）由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，可设方程为 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 ， 则 b a = 3 1 a 2 - 2 b 2 =1 ，解得 a 2 = 1 3 b 2 =1 ， ∴双曲线C的方程为3x 2 -y 2 =1． （2）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），联立 y=ax+1 3 x 2 - y 2 =1 ，化为（3-a 2 ）x 2 -2ax-2=0，（3-a 2 ≠0）． ∵直线y=ax+1与双曲线C相交于A，B两点，∴△=4a 2 +8（3-a 2 ）＞0，化为a 2 ＜6． ∴ x 1 + x 2 = 2a 3- a 2 ， x 1 x 2 = -2 3- a 2 ．（*） ∵ OA ⊥ OB ，∴ OA ? OB =0 ． ∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =0，又y 1 =ax 1 +1，y 2 =ax 2 +1， ∴（1+a 2 ）x 1 x 2 +a（x 1 +x 2 ）+1=0， 把（*）代入上式得 -2(1+ a 2 ) 3- a 2 + 2 a 2 3- a 2 +1=0 ， 化为a 2 =1．满足△＞0． ∴a=±1．