Question

若 (x+ 1 2x ) n 的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中x 4 项的系数为______

若 (x+ 1 2x ) n 的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中x 4 项的系数为______．

Answer 1

∵ (x+ 1 2x ) n 的展开式中前三项的系数依次成等差数列， ∴ C 0n + 1 4 C 2n =2 C 1n × 1 2 ， 即n+ n(n-1) 8 =n，解得n=8或n=1（舍）． 设其二项展开式的通项为T r+1 ，则T r+1 = C r8 ?x 8-r ? ( 1 2 ) r ?x -r = C r8 ? ( 1 2 ) r ?x 8-2r ， 令8-2r=4得r=2． ∴展开式中x 4 项的系数为 C 28 ? ( 1 2 ) 2 =28× 1 4 =7． 故答案为：7．