Question

已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且

已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180°．（1）利用图1，求证：PA=PB；（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB=3S△PCB时，求PB与PC的比值；（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD=∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．

Answer 1

解：（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为E、F
∵四边形OEPF中，∠OEP=∠OFP=90°，
∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，
∴∠EPF=∠APB，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB，
∴∠EPA=∠FPB，
由角平分线的性质，得PE=PF，
∴△EPA≌△FPB，即PA=PB；

（2）∵S_△POB=3S_△PCB，
∴PO=3PC，
由（1）可知△PAB为等腰三角形，则∠PBC=

1

2

（180°-∠APB）=

1

2

∠MON=∠BOP，
又∵∠BPC=∠OPB（公共角），
∴△PBC∽△POB，
∴

PB

PO

=

PC

PB

，
即PB²=PO?PC=3PC²，
∴

PB

PC

=

3

（3）作BH⊥OT，垂足为H，
当∠MON=60°时，∠APB=120°，
由PA=PB，得∠PBA=∠PAB=

1

2

（180°-∠APB）=30°，
又∵∠PBD=∠ABO，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，
∴∠ABO=

1

2

（180°-30°）=75°，则∠OBP=∠ABO+∠ABP=105°，
在△OBP中，∵∠BOP=30°，∴∠BPO=45°，
在Rt△OBH中，BH=

1

2

OB=1，OH=

3

，
在Rt△PBH中，PH=BH=1，
∴OP=OH+PH=

3

+1．