Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=4an+Sn-1-an-1（n≥2，且n∈N*）（1）证明数列{an}为等比数列；（2

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=4an+Sn-1-an-1（n≥2，且n∈N*）（1）证明数列{an}为等比数列；（2）若对?n∈N*，不等式an+α＞Sn恒成立，求实数α的最小值；（3）若cn=tn[n（lg3+lgt）+lgan+1]（t＞0），且数列{cn}中的每一项总小于它后面的项，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
又∵S_n=4a_n+S_n-1-a_n-1，
∴3a_n=a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列．
（2）∵an=(

1

3

)n-1，Sn=

3

2

(1-

1

3n

)，
∴Sn-an=

3

2

(1-

1

3n

)-

1

3n-1

=

3

2

-

1

2?3n-2

∴不等式a_n+α＞S_n恒成立?α＞

3

2

-

1

2?3n-2

对?n∈N*恒成立．
α≥

3

2

．
∴满足条件α的最小值为

3

2

．
（3）cn=tn[n(lg3+lgt)+lgan+1]=ntnlgt
由题意知c_n+1-c_n＞0（n=1，2，3，…）恒成立，
即cn+1-cn=(n+1)tn+1lgt-ntnlgt=(lgt)[(n+1)t-n]tn＞0对任意正整数n恒成立．
∵t＞0，∴tⁿ＞0
①若t＞1，则lgt＞0且t-1＞0?（n+1）t-n＞0，n＞

-t

t-1

对任意正整数n恒成立?1＞

-t

t-1

，∴t＜

1

2

或t＞1，∴t＞1．
②若t=1，lgt=0不合题意．
③若1＞t＞0，则lgt＜0，且(n+1)t-n＜0(∵t-1＜0)?n＞

-t

t-1

对任意正整数n恒成立?1＞

-t

t-1

，∴0＜t＜

1

2

，∴0＜t＜

1

2

；
综上，0＜t＜

1

2

或t＞1．