Question

下列命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF=BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，

下列命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF=BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH．下列结论中：①BF⊥CE；②OM=ON；③ OH= 1 2 CN ；④ 2 OH+BH=CH ．其中正确的命题有（　　） A．只有①② B．只有①②④ C．只有①④ D．①②③④

Answer 1

∵AF=BE，AB=BC，∠ABC=∠BAD=90°， ∴△ABF≌△BEC， ∴∠BCE=∠ABF，∠BFA=∠BEC， ∴△BEH ∽ △ABF， ∴∠BAF=∠BHE=90°， 即BF⊥EC，①正确； ∵四边形是正方形， ∴BO⊥AC，BO=OC， 由题意正方形中角ABO=角BCO，在上面所证∠BCE=∠ABF， ∴∠ECO=∠FBO， ∴△OBM≌△ONC， ∴ON=OM， 即②正确； ③∵△OBM≌△ONC， ∴BM=CN， 只有当H为BM的中点是，OH等于CN的一半，故③错误； ④过O点作OG垂直于OH，OG交CH与G点， 在△OGC与△OHB中， ∠OCN=∠OBH OC=OB ∠HON=∠GOC ， 故△OGC≌△OHB， ∵OH⊥OG， ∴△OHG是等腰直角三角形， 按照前述作辅助线之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG， 则在证明证明三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG=BH， 所以④式成立． 综上所述，①②④正确． 故选B．

Answer 2

∵AF=BE，AB=BC，∠ABC=∠BAD=90°，
∴△ABF≌△BEC，
∴∠BCE=∠ABF，∠BFA=∠BEC，
∴△BEH∽△ABF，
∴∠BAF=∠BHE=90°，
即BF⊥EC，①正确；

∵四边形是正方形，
∴BO⊥AC，BO=OC，
由题意正方形中角ABO=角BCO，在上面所证∠BCE=∠ABF，
∴∠ECO=∠FBO，
∴△OBM≌△ONC，
∴ON=OM，
即②正确；

③∵△OBM≌△ONC，
∴BM=CN，
只有当H为BM的中点是，OH等于CN的一半，故③错误；

④过O点作OG垂直于OH，OG交CH与G点，
在△OGC与△OHB中，

故△OGC≌△OHB，
∵OH⊥OG，
∴△OHG是等腰直角三角形，
按照前述作辅助线之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，
则在证明证明三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG=BH，
所以④式成立．
综上所述，①②④正确．
故选B

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