Question

如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．（1）求证：CE=CF；（2）如图2，若H为AB上一

如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．（1）求证：CE=CF；（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD， ∵点E、F分别为AB、AD的中点， ∴BE= 1 2 AB，DF= 1 2 AD， ∴BE=DF， 在△BCE和△DCF中， BC=DC ∠B=∠D BE=DF ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴CE=CF； （2）证明：延长BA与CF，交于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，AF ∥ BC，AB ∥ CD， ∴∠G=∠FCD， ∵点F分别为AD的中点，且AG ∥ CD， ∴AG=AB， ∵△BCE≌△DCF， ∴∠ECB=∠DCF， ∵∠CHB=2∠ECB， ∴∠CHB=2∠G， ∵∠CHB=∠G+∠HCG， ∴∠G=∠HCG， ∴GH=CH， ∴CH=AH+AG=AH+AB．