Question

已知函数f（x）=ex-x2的导函数为f′（x），y=f（x）与y=f′（x）在同一直角坐标系下的部分图象如图所示，

已知函数f（x）=ex-x2的导函数为f′（x），y=f（x）与y=f′（x）在同一直角坐标系下的部分图象如图所示，若方程f′（x）-f（a）=0在x∈（-∞，a]上有两解，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

设g（x）=f′（x）-f（a）=e^x-2x-（e^a-a²），
令g′（x）=e^x-2＞0，则x＞ln2，
所以g（x）在（-∞，ln2）单调递减，
在（ln2，+∞）单调递增，
要使满足题意，
则

g(a)≥0 g(ln2)＜0 ln2＜a

?

ea?2a?ea+a2≥0???(1) 2?2ln2?ea+a2＜0??(2) ln2＜a?????????(3)

由（1），（3）可知a≥2
设h（a）=2-2ln2-e^a+a²，h′（a）=-e^a+2a＜0在a≥2恒成立，
所以h（a）=2-2ln2-e^a+a²在[2，+∞）上单调递减，
所以h（a）≤h（2）=6-2ln2-e²＜0
所以（2）对任意的a∈R都成立．
综上所述a≥2．
故答案为：[2，+∞）．