Question

高等数学，计算极限lim（x—>0）（a^x-1）/x使用的方法的疑问。帮我看看我的解题方法是否正确。

每一段都要看才知道我想问什么！！

问题一：（下图是我现在认为错误的想法，但是我之前是这样想的，你认为我这种解法是不是做错了呢？）我一开始将（a^x-1/x）这个个看做判断是否可以用连续函数的依据。但是后来发现应该将分母，即loga（1+t）^（1/t），单独看做能否是用连续函数的依据，就是最后一张图的解题方法。

问题二：下图是我现在认为的解题方法，我解得对吗，我用了两种解法，都是正确的吗？

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Answer 1

都正确，而且不联系函数的奇点是可去奇点，可以修改奇点的值使得变成连续函数，
而且你直接使用洛必达法则就可以了，需要这么复杂吗

Answer 2

一开始缺少一步对常数a的范围的分类讨论
当a<0时，指数函数a^x无意义
当a=0时，a^x=0，lim(x->0)(a^x-1)/x=lim(x->0)(-1/x)，极限不存在
当a>0时，根据等价无穷小代换：a^x-1~xlna
所以lim(x->0)(a^x-1)/x=lim(x->0)(xlna)/x=lna

追问

追答

首先回答你第一个问题，这里a是可以等于1的，当a=1时，原式=lim(x->0)(1-1)/x=0
你用连续函数的定义来计算函数极限是正确的，而且答案也是和我的做法是一致的。
因为初等函数都是在定义域内连续的，所以当你见到求初等函数的极限时，都可以直接用复合函数的求极限法则。
接着，再回答你的第二个问题
你说的没错，用等价无穷小代换来计算极限的前提是，替换的f(x)和g(x)必须本身是趋向于0的，否则就不能代换

追问

我是这样想的，在这还要使用对数函数，但是对数函数loga（x），a可以等于一吗？log1（4）=？当a=1高中好像没有到那么深奥的地步，所以出题者就按照我们的知识量来出题，认为我们会直接将它的条件都想成是高中水准的条件，不过我个人认为这个对于像你学得深奥的人是出题者的一个不严谨的地方。

追答

指数函数y=a^x中，a>0
对数函数y=log(a,x)中，a>0且a≠1
当题目中只包含指数函数时，如果需要用对数函数来帮助计算的话，就无意间把原题a的取值范围缩小了，因此必须额外考虑a=1时的情况

追问

难道说在a>0旁边还要加多：且y=loga（x)a>0且a≠1。

追答

没看懂你说的

追问

我觉得很奇怪，如果使用你的方法当a>0时，根据等价无穷小代换：a^x-1~xlna
所以lim(x->0)(a^x-1)/x=lim(x->0)(xlna)/x=lna，就不用考虑a是否能等于1的情况，如果用我的方法就要考虑了。
请问有谁知道原因在评论里写下

Answer 3

你两个方法是一样的啊，对的