Question

高中数学竞赛几何题

有几道平面几何的题请教一下
1.已知圆内接六边形ABCDEF的边满足关系式AB=CD=EF=R,R为圆的半径,G,H,K分别是边BC,DE,FA的中点,试说明,三角形GHK是否为正三角形.

2已知直角梯形ABCD的直角腰AB上存在一点E,使三角形CDE为正三角形,又AE/CD=根号6/4,求AE/AB的值

3在锐角三角形ABC中,内心为I,外心为O,角B=60度,/OI/=/AB-AC/,求证:三角形ABC是等边三角形

Answer 1

1.分别取AB、AD、CD中点为Q、J、R
易证△GJQ为等边△，HR=KJ，且其所在直线夹角为60°
由爱可尔斯定理知△GHK为等边△
（或者用复数法）
2.作DF⊥CE于F，过F作BC的垂线交AD于H，BC于G
则，FG=1/2BE=1/2(AB-AE）
HF=AB-1/2BE=1/2(AB+AE) ①
BC²=CE²-BE²=CD²-BE²=（4AE/√6）²-(AB-AE)² ②
由△ECB∽△DFH，
BC/FH=CE/DF=2√3/3 ③
联立以上三式，解得AE/AB=(√5-1)/2
3.由Euler公式，OI²=R²-2Rr
∴R-2Rr=(b-c)²
r=(a+c-b)/2×tanB/2=√3/6（a+c-b)
由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
再由∠A+∠C=120°
可得一个关于sinA(或sinC)的方程,根据锐角三角形知符合题意的解sinA(或sinC)=√3/2
∴△ABC为等边△

Answer 2

先mark以后再说。【很高兴为你解答】

Answer 3

先mark以后再说。