Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC= ，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC= ，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E．（1）求AE的长度；（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG的大小，并说明理由．

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Answer 1

（1）        （2）36°，理由见解析

试题分析：（1）在Rt△ABC中，由AB=1，BC= ， 得AC= = ， ∵以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E ∴BC=CD，AE=AD， ∴AE=AC﹣CD= ； （2）∠EAG=36°，理由如下： ∵FA=FE=AB=1，AE= ， ∴ = ， ∴△FAE是黄金三角形， ∴∠F=36°，∠AEF=72°， ∵AE=AG， ∴∠EAG=∠F=36°． 点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，考查了相似三角形的证明和性质，本题中求证三角形相似是解题的关键．