Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx 2 -2mx+n与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（-2，0）．（1）求B点坐标

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx 2 -2mx+n与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（-2，0）．（1）求B点坐标；（2）直线 y= 1 2 x+4m+n 经过点B．①求直线和抛物线的解析式；②点P在抛物线上，过点P作y轴的垂线l，垂足为D（0，d）．将抛物线在直线l上方的部分沿直线l翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G．请结合图象回答：当图象G与直线 y= 1 2 x+4m+n 只有两个公共点时，d的取值范围是______．

Answer 1

（1）依题意，可得抛物线的对称轴为：x=- -2m 2m =1． ∵抛物线与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（-2，0）， ∴点B的坐标为（4，0）； （2）∵点B在直线 y= 1 2 x+4m+n 上， ∴0=2+4m+n①． ∵点A在二次函数y=mx 2 -2mx+n的图象上， ∴0=4m+4m+n②． 由①、②可得m= 1 2 ，n=-4． ∴抛物线的解析式为y= 1 2 x 2 -x-4 ，直线的解析式为y= 1 2 x-2 ． （3）翻折图象即是FDP直线下方的图象．要使得直线y= 1 2 x-2与新图象G仅有两个交点，须保证点P在直线下方，而点F在直线上方． 最低点G（1，- 9 2 ）．点D为（0，d），把- 9 2 ≤y=d＜0代入原抛物线方程y= 1 2 x 2 -x-4=d， 解得：x 1 =1- 2d+9 ，即点F的横坐标， x 2 =1+ 2d+9 ，即点P的横坐标 所以：d＞y 1 = 1 2 x 1 -2= 1 2 （1- 2d+9 ）-2，即： 2d+9 ＞-（2d+3）…（a） d＜y 2 = 1 2 x 2 -2= 1 2 （1+ 2d+9 ）-2，即： 2d+9 ＞2d+3…（b） 当2d+3≤0即- 9 2 ≤d≤- 3 2 时，（b）成立，（a）两边平方整理得： 2d 2 +5d＜0，解得：- 5 2 ＜d＜- 3 2 ； 当2d+3≥0即- 3 2 ≤d＜0时，（a）成立，（b）两边平方整理得： 2d 2 +5d＜0，解得：- 3 2 ≤d＜0 综上所述：- 5 2 ＜d＜0．