如图，四棱锥 P － ABCD 的底面是矩形，侧面 PAD 是正三角形，且侧面 PAD ⊥底面 ABCD ， E 为侧棱 PD 的
如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（I）试判断直线PB与平面EAC的关系（文科不必证明，理科必须...
如图，四棱锥 P － ABCD 的底面是矩形，侧面 PAD 是正三角形，且侧面 PAD ⊥底面 ABCD ， E 为侧棱 PD 的中点．（I）试判断直线 PB 与平面 EAC 的关系（文科不必证明，理科必须证明）； （II）求证： AE ⊥平面 PCD ；（III）若 AD ＝ AB ，试求二面角 A － PC － D 的正切值.
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| （I） PB ∥平面 EAC ．（II）证明见解析 ，（III）二面角 A － PC － D 的正切值为  ． |
| 解法一：
（I） PB ∥平面 EAC ．证明如下： 连结 BD 交 AC 于点 O ，连结 EO ，则 O 为 BD 的中点， 又∵ E 为 PD 的中点，∴ EO ∥ PB ，∴ PB ∥平面 EAC ．  （II）∵ CD ⊥ AD ，且侧面 PAD ⊥底面 ABCD ， 而侧面 PAD  底面 ABCD ＝ AD ，∴ CD ⊥侧面 PAD ，∴ CD ⊥ AE ． ∵侧面 PAD 是正三角形， E 为侧棱 PD 的中点， ∴ AE ⊥ PD ，∴ AE ⊥平面 PCD ； （III）过 E 作 EM ⊥ PC 于 M ，连结 AM ，由（2）及三垂线定理知 AM ⊥ PC ． ∴∠ AME 为二面角 A － PC － D 的平面角． 10分 由正三角形 PAD 及矩形 ABCD ，且 AD ＝ AB ，∴ PD ＝ AD ＝ AB ＝ DC ， ∴在等腰直角三角形 DPC 中，设 AB ＝ a ，则 AE ＝  a ， PC ＝ a ， EM ＝ × a ． 12分在  △ AEM 中，tan∠ AME ＝ ＝ ＝ ． 即二面角 A － PC － D 的正切值为 ． 解法二：（I）同解法一  （II）设 N 为 AD 中点， Q 为 BC 中点，则因为△ PAD 是正三角形，底面 ABCD 是矩形，所以， PN ⊥ AD ， QN ⊥ AD ，又因为侧面 PAD ⊥底面 ABCD ，所以， PN ⊥面 ABCD ， QN ⊥面 PAD ，以 N 为坐标原点， NA 、 NQ 、 NP 所在直线分别为 x ， y ， z 轴如图建立空间直角坐标系．设 AD ＝1， AB ＝ a ，则  ， ， ， ， ， ． ∴  ， ， .∴  ， .∴  ．又 ， PD ， DC 面 PDC ，∴ AE ⊥平面 PCD ； （III）当 a ＝1时，由（2）可知： 是平面 PDC 的法向量，设平面 PAC 的法向量为  ，则 ，
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