Question

对任意非零向量a、b，求证：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

对任意非零向量a、b，求证：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|．

Answer 1

证明：分三种情况考虑． （1）当a、b共线且方向相同时，|a|-|b|＜|a+b|=|a|+|b|，|a|-|b|=|a-b|＜|a|+|b|． （2）当a、b共线且方向相反时， ∵a-b=a+（-b），a+b=a-（-b）， 利用（1）的结论有||a|-|b||＜|a+b|＜|a|+|b|，|a|-|b|＜|a-b|=|a|+|b|． （3）当a，b不共线时，设 OA =a， OB =b，作 OC = OA + OB =a+b， BA = OA - OB =a-b， 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得||a|-|b||＜|a±b|＜|a|+|b|． 综上得证．