Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=2，sinB=35，过点C在∠BCD的内部作射线交射线BA于点E，使得∠DCE=∠B

已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=2，sinB=35，过点C在∠BCD的内部作射线交射线BA于点E，使得∠DCE=∠B．（1）如图1，当ABCD为等腰梯形时，求AB的长；（2）当点E与点A重合时（如图2），求AB的长；（3）当△BCE为直角三角形时，求AB的长．

Answer 1

（1）如图1，作AM∥DC交BC于点M，作AH⊥BC于点H，
∵AD∥BC，∴AMCD为平行四边形，
∴AM=DC，MC=AD=1，
∴BM=BC-MC=2-1=1，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB=DC，∴AB=AM，∴BH=HM=

1

2

BM＝

1

2

在直角三角形ABH中，
∵sinB=

AH

AB

=

3

5

，
∴cosB=

BH

AB

，∵

BH

AB

＝

4

5

，∴AB＝

5

8

．

（2）如图2，∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵∠DCE=∠B，
∴△ADC∽△CAB，
∴

AD

AC

＝

AC

BC

，
∴AC²=AD?BC=2，
作AF⊥BC于点F，
设AB=x，∵sinB=

AH

AB

，
∴AF=

3

5

x，BF=

4

5

x，
∴CF＝2?

4

5

x，
在直角三角形AFC中，AF²+CF²=AC²，即：(

3

5

x)2+(2?

4

5

x)2＝2，
∴x＝

8± 14

5

，
即当点A与点E重合时，AB=

8+ 14

5

，或者AB=

8? 14

5

．