如图，在?ABCD中，AB=12cm，AD=6cm，∠BAD=60°，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A-B-C运动，点Q从点A出发
如图，在?ABCD中，AB=12cm，AD=6cm，∠BAD=60°，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A-B-C运动，点Q从点A出发，以acm/s的速度沿A-D-C运...
如图，在?ABCD中，AB=12cm，AD=6cm，∠BAD=60°，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A-B-C运动，点Q从点A出发，以acm/s的速度沿A-D-C运动，点P、Q从A点同时出发，当其中一点到达点C时，另一点也停止运动，设运动的时间为t．s．（1）求证：BD⊥AD．（2）若a=1，以点P为圆心，PB为半径画⊙P，以点Q为圆心，QD为半径画⊙Q，当⊙P和⊙Q相切时，求t的所有可能值．（3）若在点P、Q运动的过程中总存在t，使PQ∥BD，试求a的值或范围．
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（1）证明：取AB的中点E，连接DE，如图1所示．
∵AB=12，AD=6，
∴AE=AD=6．
∵∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形．
∴DE=AD=AE=6，∠ADE=∠AED=60°．
∴DE=BE．
∴∠EDB=∠EBD．
∴∠EDB=30°．
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD．
（2）
解：①当0＜t＜6时，
点Q在AD上，点P在AB上，
此时AQ=t，QD=6-t，AP=2t，PB=12-2t．
∴QD＜PB．
∵
＝
，
＝
＝
，
∴
＝
．
∵∠QAP=∠DAB，
∴△AQP∽△ADB．
∴∠AQP=∠ADB=90°．
∵AQ=t，AP=2t，
∴QP=
t．
Ⅰ．若⊙Q与⊙P相内切，如图2所示，
则
=PQ
∵QD＜PB，
∴PB-QD=PQ．
∴（12-2t）-（6-t）=
t．
解得：t=3
-3．
Ⅱ．若⊙Q与⊙P相外切，如图3所示，
则PB+QD=PQ．
∴（12-2t）+（6-t）=
t．
解得：t=9-3
∵AB=12，AD=6，
∴AE=AD=6．
∵∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形．
∴DE=AD=AE=6，∠ADE=∠AED=60°．
∴DE=BE．
∴∠EDB=∠EBD．
∴∠EDB=30°．
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD．
（2）
解：①当0＜t＜6时，点Q在AD上，点P在AB上，
此时AQ=t，QD=6-t，AP=2t，PB=12-2t．
∴QD＜PB．
∵
| AQ |
| AD |
| t |
| 6 |
| AP |
| AB |
| 2t |
| 12 |
| t |
| 6 |
∴
| AQ |
| AD |
| AP |
| AB |
∵∠QAP=∠DAB，
∴△AQP∽△ADB．
∴∠AQP=∠ADB=90°．
∵AQ=t，AP=2t，
∴QP=
| 3 |
Ⅰ．若⊙Q与⊙P相内切，如图2所示，
则
|
∵QD＜PB，
∴PB-QD=PQ．
∴（12-2t）-（6-t）=
| 3 |
解得：t=3
| 3 |
Ⅱ．若⊙Q与⊙P相外切，如图3所示，
则PB+QD=PQ．
∴（12-2t）+（6-t）=
| 3 |
解得：t=9-3
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