Question

设总体X～b（100，p）为二项分布，0＜p＜1未知，X1，X2，…Xn为来自总体的一个样本．求参数p的矩估计量和

设总体X～b（100，p）为二项分布，0＜p＜1未知，X1，X2，…Xn为来自总体的一个样本．求参数p的矩估计量和极大似然估计量．

Answer 1

由E(X)＝100p＝

.

X

，得p的矩估计量

?

p

＝

. X

100

∵P(X＝k)＝

C

k n

pk(1?p)n?k，k=0，1，2，…，n
∴似然函数为L(p)＝

n

i＝1

C

xi 100

pxi(1?p)100?xi，
∴ln(L(p))＝

n

i＝1

(ln

C

xi 100

+xilnp+(100?xi)ln(1?p))
∴由

d(ln(L(p)))

dp

＝0，得极大似然估计量

?

p

＝

. X

100

Answer 2

（注：为了方便打字，用a替换X，e替换p,这样比较好理解）
设总体a～b（100，e）为二项分布，0＜p＜1未知，a1，a2，…an为来自总体的一个样本．求参数e的矩估计量和极大似然估计量
矩估计：
由题意，存在一个待估参数e
第一步
计算总体X的一阶原点矩
u1=E(a)，因为是二项分布，E(a)=ne=100e;
第二步
令样本矩=总体矩
(a1+a2+...+an)/n=E(a)
第三步
求解上述等式
即ā=100e
最终得到e的矩估计量ê=ā/100
极大似然估计：
p{a=k}=C(n,k)p^k*(1-p)^(n-k)
第一步
写出样本的似然函数L(e)=∏C(100,ai)p^ai*(1-p)^(n-ai)
其中i∈(1,n)
第二步，求出使L(e)达到最大值的ê1....ên
对于此题lnL(e)可微
所以由dlnL(e)/de=0可解得ê=ā/100
即样本的极大似然估计量为ā/100