Question

如图①，已知点O是∠EPF的平分线上的一点，以点O为圆心的圆与角两边分别交于A，B和C，D四点．（1）求证：

如图①，已知点O是∠EPF的平分线上的一点，以点O为圆心的圆与角两边分别交于A，B和C，D四点．（1）求证：AB=CD；（2）若角的顶点P在圆上，如图②，其他条件不变，结论成立吗？（3）若角的顶点P在圆内，如图③，其他条件不变，结论成立吗？

Answer 1

解：（1）相等．
如图：
作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，连接OA，OC，OB，OD．
AG=BG，CH=DH，
∵∠EPO=∠FPO，
∴OG=OH．
在Rt△OBG和Rt△ODH中，
由HL定理得：△OBG≌△ODH，
∴GB=HD，
∴AB=CD；
（2）点P在圆上，结论成立：
顶点P在圆上，此时点P，A，C重合于点A，作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，
∴AG=GB，AH=HD，
∵∠EAO=∠DAO，
∴OG=OH．
在Rt△OAG和Rt△OAH中，由HL定理得：△OAG≌△OAH，
∴AG=AH，
∴AB=AD．
即点P在圆上，结论成立．
（3），顶点P在圆内，作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，则AG=GB，CH=HD，
∵∠EPO=∠FPO，
∴OG=OH，
∴GB=HD，
∴AB=CD．
即点P在圆内，结论成立．