Question

（2014?石景山区一模）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是3，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1

（2014?石景山区一模）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是3，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1-BD-A的大小；（Ⅲ）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连结AB₁交A₁B于M，连结B₁C，DM，
因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
所以四边形AA₁B₁B是矩形，
所以M为A₁B的中点．
因为D是AC的中点，
所以MD是三角形AB₁C的中位线，…（2分）
所以MD∥B₁C．…（3分）
因为MD?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
所以B₁C∥平面A₁BD．…（4分）
（Ⅱ）解：作CO⊥AB于O，所以CO⊥平面ABB₁A₁，
所以在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
如图建立空间直角坐标系O-xyz．
因为AB=2，AA1＝

3

，D是AC的中点．
所以A（1，0，0），B（-1，0，0），C(0 ， 0 ， 

3

)，A1(1 ， 

3

 ， 0)，…（5分）
所以D(

1

2

 ， 0 ， 

3

2

)，

BD

＝(

3

2

 ， 0 ， 

3

2

)，

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