Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为22，坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为22

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为22，坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为22．（1）求椭圆的方程；（2）设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意设此椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1，过右焦点F且斜率为1的直线的方程为：y=x-c，
则

c a ＝ 2 2 c 2 ＝ 2 2 a2＝b2+c2

解得

c＝1 a＝ 2 b＝1

，∴题意的方程为

x2

2

+y2＝1．
（2）假设存在点M（m，0）（0＜m＜1）满足条件，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，因为直线与x轴不垂直，
所以直线l的方程可设为y=k（x-1）（k≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由

x2+2y2＝2 y＝k(x?1)

 可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
由△＞0恒成立，∴x1+x2＝

4k2

1+2k2

．（*）
∵以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，∴|MQ|=|MP|，
∴

(x2?m)2+y22

=

(x1?m)2+y12

，又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）．
化为(1+k2)(x1+x2)?2m?2k2＝0，
把（*）代入上式得(1+k2)×

4k2

1+2k2

?2m?2k2＝0，
化为m＝

k2

1+2k2

=

1

2+ 1 k2

，
∵k²＞0，∴0＜m＜

1

2

．