Question

一道高中不等式的证明题

a>b>0，
如何证明2a+b/a+2b>a/b不总成立？

（正证、反证皆可）
原式为：（2a+b）/（a+2b）>a/b

Answer 1

先看题设，说证明不总成立，那么应该想到用反证法。

不妨设 2a+b/a+2b>a/b 总是成立

然后通分，整理：（2ba^2+2ab^2+b^2-a^2)/(ab) 大于 0
提出公因式（a+b),整理：2ab+b-a 大于O
拿到等号一边，整理：（a-b)/(2ab) 小于1
化开来，得：1/b-1/a 小于2

而题设中条件为，a>b>0，所以1/b>1/a，所以1/b-1/a>0，与前面得出的【1/b-1/a 恒小于2】矛盾，

所以2a+b/a+2b>a/b不总成立
得证。