Question

已知a属于R，函数f(x)=4x^3-2ax+a 1，求f(x)的单调区间 2，证明:当0小于

已知a属于R，函数f(x)=4x^3-2ax+a 1，求f(x)的单调区间 2，证明:当0小于等于x小于等于1时，f(x)+|2-a|大于0

Answer 1

f(x)=4x^3-2ax+a,
(1)f'(x)=12x^2-2a,
a<=0时f'(x)>=0,f(x)是R上的增函数；
a>0时f'(x)=12[x-√(6a)/6][x+√(6a)/6],
-√(6a)/6<x<√(6a)/6时f'(x)<0,f(x)是减函数，其他，f(x)是增函数。
（2）0<=x<=1时，
1)a<=0时由(1),f(x)>=f(0)=a,
∴f(x)+|2-a|>=a+2-a=2>0;
2)0<a<=2时0<√(6a)/6<1,由(1),
f(x)>=f[√(6a)/6]=-2√6*a^1.5/9，
f(x)+|2-a|=-2√6*a^1.5/9+a+2-a>2-8√3/9>0;
3)2<a<6时由(1),
f(x)>=f[√(6a)/6]=-2√6*a^1.5/9，
f(x)+|2-a|=-2√6*a^1.5/9+a+a-2=2a-2√6*a^1.5/9-2,记为g(a),
g'(a)=2-√(6a)/3>0,g(a)是增函数，
g(a)>g(2)=2-8√3/9>0;
4)a>=6时由(1),
f(x)>=f（1）=4-a,
f(x)+|2-a|>=4-a+a-2=2>0.证完.