Question

高等数学题一道

设映射f:X→Y，A属于X。记f(A)的原像为f-1（f(A)）,证明：
（1）A属于f-1（f(A)）
（2）当f是单射时，有f-1（f(A)）=A

Answer 1

1、设x∈A，则f(x)∈f(A)，所以x∈f-1（f(A)）。所以集合A包含于f-1（f(A)）。
2、只要证明f-1（f(A)）也包含于A即可。
设z∈f-1（f(A)），则f(z)∈f(A)，所以存在x∈A，使得f(z)＝f(x)。因为f是单射，由f(z)＝f(x)得z＝x，所以z∈A。所以f-1（f(A)）包含于A。
由A包含于f-1（f(A)），f-1（f(A)）包含于A 得f-1（f(A)）=A。