Question

（sin∧4xcos∧2x）的原函数是什么

如题

Answer 1

（sin∧4xcos∧2x）的原函数是
∫（sin∧4xcos∧2x）dx
=∫[sin^2x(sinxcosx)^2dx
=1/8∫(1-cos2x)(sin2x)^2dx
=1/8∫(sin2x)^2dx-1/16∫(sin2x)^2d(sin2x)
=1/16∫[1-cos4x]dx-1/48(sin2x)^3
=x/16-1/64*sin4x-1/48*(sin2x)^3+C
原函数的定义
primitive function已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有
dF(x)=f(x)dx，
则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
例：sinx是cosx的原函数。
几何意义和力学意义
设f(x)在[a,b]上连续，则由曲线y=f(x),x轴及直线x=a,x=b围成的曲边梯形的面积函数(指代数和——x轴上方取正号，下方取负号)是f(x)的一个原函数·若x为时间变量，f(x)为直线运动的物体的速度函数，则f(x)的原函数就是位移函数·

Answer 2

∫（sin∧4xcos∧2x）dx
=∫[sin^2x(sinxcosx)^2dx
=1/8∫(1-cos2x)(sin2x)^2dx
=1/8∫(sin2x)^2dx-1/16∫(sin2x)^2d(sin2x)
=1/16∫[1-cos4x]dx-1/48(sin2x)^3
=x/16-1/64*sin4x-1/48*(sin2x)^3+C