Question

帮我做几道乘法公式的应用

1.计算3000的2次方-2999的2次方+2998的2次方-2997的2次方+.....+4的2次方-3的2次方+2的2次方-1的1次方
2.已知a.b.c.d均为正数，而且a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方=4abcd，证明：a=b=c=d

Answer 1

第一题： 相邻的两项利用平方差公式

3000^2-2999^2+2998^2-2997^2+.....+4^2-3^2+2^2-1
=(3000+2999)*(3000-2999)+(2998+2997)*(2998-2997)+...+(2+1)*(2-1)
=3000+2999+2998+2997+...+2+1
=3000*3001/2
=4501500

第二题： 也是利用一个公式 a^2+b^2≥2ab , 当且仅当a=b时等号成立（我们讨论的a,b都是正数）

a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd

而a^4+b^4+c^4+d^4≥2(a^2*b^2+c^2*d^2)≥4abcd

前一个等号要求 a=b并且c=d, 后一个等号要求ab=cd

只有三个条件同时满足才可以满足a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd，

因此 a=b --------（1）
c=d ------- （2）
ab=cd --------（3）

把（1）和（2）代入（3）得 a^2=c^2,

因此a=c---------(4)(因为a b c d均为正数)

综合(1)(2)(4)可知， a=b=c=d

Answer 2

第一题化解下就等于1+到3000 最后结果是4501500