Question

设函数f(x)=2㏑(x+1)+x²/(x+1) (1)讨论函数f(x)的单调性；

（2）如果对所有的x≧0,都有f(x)≤ax，求a的最小值

Answer 1

1）f'(x)=2/(x+1)+[2x(x+1)-x²]/(x+1)²=(2x+2+x²+2x)/(x+1)²=(x²+4x+2)/(x+1)²
定义域为x>-1,
由f'(x)=0, 得x=-2+√2
单调增区间：x>-2+√2,
单调减区间：-1<x<-2+√2

2)x=0时，f(0)=0<=0, 有f(x)<=ax成立；
x>0时，有a>=f(x)/x
令g(x)=f(x)/x=2ln(x+1)/x+x/(x+1)
现求g(x)在x>0时的最大值
g'(x)=2[x/(x+1)-ln(x+1)]/x²+1/(x+1)²
由于h(x)=x/(x+1)-ln(x+1),
当x>0时，有h'(x)=1/(x+1)²-1/(x+1)=-x/(x+1)²<0
即h(x)单调减，h(0)=0, 故h(x)<0
从而g'(x)<0, 即g(x)单调减，g(0+)=2, 即g(x)<2
因此有a>=2
即a的最小值为2.