Question

y=(cosx–1)/(sinx-3)的值域怎么求

Answer 1

可以考虑数形结合法，答案如图所示

Answer 2

由原式得ysinx-3y=cosx－1，即有ysinx-cosx=3y；
令tanφ=y，(-π/2<φ<π/2)，则cosφ=1/√(1+y²)；于是有
tanφsinx-cosx=(sinφ/cosφ)sinx-cosx=(1/cosφ)(sinxsinφ-cosxcosφ)=-[√(1+y²)]cos(x+φ)]=3y
故得cos(x+φ)=-3y/√(1+y²)，由于-1≦cos(x+φ)≦1，故-1≦-3y/√(1+y²)≦1，也就是有：
0≦9y²/(1+y²)≦1，9y²≦1+y²，8y²≦1，y²≦1/8，︱y︱≦√(1/8)=1/(2√2)=(√2)/4，
即-(√2)/4≦y≦(√2)/4.

Answer 3

y=(cosx–1)/(sinx-3)
注意到sinx-3≠0
∴y(sinx-3)=cosx–1
ysinx-cosx=3y-1
令cost=y/√(y²+1)，sint=1/√(y²+1)
√(y²+1)sin(x-t)=3y-1
sin(x-t)=(3y-1)/√(y²+1)
sin²(x-t)=(3y-1)²/(y²+1)∈【0，1】
(3y-1)²≤y²+1
8y²-6y≤0
8y(y-3/4)≤0
0≤y≤3/4
值域【0,3/4】