Question

若级数∑an与∑bn都绝对收敛，证明下列级数也绝对收敛∑(an-bn)

Answer 1

证明：
级数∑an与∑bn都绝对收敛，
即两个正项级数∑|an|与∑|bn|都收敛，
根据正项级数的性质，正项级数∑(|an|+|bn|)也收敛。
而|an-bn|<=|an|+|bn|, 根据正项级数的比较判别法，
正项级数∑|an-bn|也收敛，
所以级数∑(an-bn) 绝对收敛。

Answer 2

1.快速判断法
若级数∑An绝对收敛
即级数∑│An│收敛,
设Sn= │A1│+│A2│+│A3│+...+│An│
即当n→+∞时,limSn存在

因为数列{Bn}有界
所以存在正数M,使│Bn│≤M
设Tn=│A1*B1│+│A2*B2│+│A3*B3│+...+│An*Bn│
则Tn≤[│A1│+│A2│+│A3│+...+│An│]*M = M*Sn
从而Tn递增有上界,
所以当n→+∞时,limTn存在
即级数∑（AnBn）绝对收敛.

cheng 09-03-08 1

追问

证的是∑(an-bn)