Question

高数微分方程问题！

解微分方程：dy/dx=(x+y)的平方。
dy/dx-e的(x-y)次方+e的x次方=0
dy/dx=分子是3x+e^y，分母是x的平方。

Answer 1

1）令u=x+y,dy=du-dx
原式等价于(du-dx)/dx=u^2
du/(1+u^2)=dx
两边积分得arctanu=x+c
u=tan(x+c)=x+y
y=tan(x+c)-x,c是常数
2）令u=e^x,v=e^y
dx=du/u,dy=dv/v
原式可化为 udv/(vdu)=u/v-u
dv/du=1-v,dv/(1-v)=du
两边积分得 ln|v-1|=-u+c
v-1=e^(c-u)
即 e^y=e^(c-e^x)+1
c是常数
3）
dy/dx=(3x+e^y)/x^2
令u=e^y
dy=du/u
du/dx=(u^2+3xu)/x^2
令 v=u/x
du=vdx+xdv
v+xdv/dx=v^2+3v
dv/(v^2+2v)=dx/x
(1/v-1/(v+2))dv/2=dx/x
两边积分得 1/2(lnv-ln(v+2))=lnx+lnc
根号（v/(v+2))=cx
e^y/(e^y+2x)=cx
y=ln[2cx^2/(1-cx)] ，c是常数