Question

如果Y~Γ(α,λ)且α≧1，证明对于α>1，Ε(1/Y)= λ/(α-1) 并且它在 α=1时无穷。( Γ(0)是无穷的）

如果Y~Γ(α,λ)且α≧1，证明对于α>1，Ε(1/Y)= λ/(α-1) 并且它在 α=1时无穷。( Γ(0)是无穷的）
if Y~Γ(α,λ) with α≧1，show that Ε(1/Y)= λ/(α-1) for α>1, and is infinite for α=1(Hint: Γ(0)is infinite).
谢谢大神帮忙！

Answer 1

因为（Xi/(X1+X2+……+Xn)）的绝对值小于等于1，所以它的期望存在。

由对称性，E[(X1)/(X1+...Xn)]=E[(X2)/(X1+...Xn)]=...E[(Xi)/(X1+...Xn)]=...=E[(Xn)/(X1+...Xn)]。

而同时E[(X1+...Xn)/(X1+...Xn)]=1，所以E[(X1)/(X1+...Xn)]=1/n，

又X1,X2...Xn是独立同分布,所以E[(X1+...Xk)/(X1+...Xn)]=E[(X1)/(X1+...Xn)]+E[(X2)/(X1+...Xn)]+...+E[(Xk)/(X1+...Xn)]。

所以原式成立。

 

（Ⅰ）根据题意，首先对原不等式进行变形有x+y+

1xy

≤

1x

+

1y

+xy⇔xy（x+y）+1≤x+y+（xy）²；再用做差法，让右式-左式，通过变形、整理化简可得右式-左式=（xy-1）（x-1）（y-1），又由题意中x≥1，y≥1，判断可得右式-左式≥0，从而不等式得到证明．
（Ⅱ）首先换元，设log_ab=x，log_bc=y，由换底公式可得：log_ba=

1x

，log_cb=

1y

，log_ac=

1xy

，log_ac=xy，将其代入要求证明的不等式可得：x+y+

1xy

≤

1x

+

1y

+xy；又有log_ab=x≥1，log_bc=y≥1，借助（Ⅰ）的结论，可得证明．

解答证明：（Ⅰ）由于x≥1，y≥1；则x+y+1xy≤1x+1y+xy⇔xy（x+y）+1≤x+y+（xy）²；
用作差法，右式-左式=（x+y+（xy）²）-（xy（x+y）+1）
=（（xy）²-1）-（xy（x+y）-（x+y））
=（xy+1）（xy-1）-（x+y）（xy-1）
=（xy-1）（xy-x-y+1）
=（xy-1）（x-1）（y-1）；
又由x≥1，y≥1，则xy≥1；即右式-左式≥0，从而不等式得到证明．
（Ⅱ）设log_ab=x，log_bc=y，
由换底公式可得：log_ba=1x，log_cb=1y，log_ca=1xy，log_ac=xy，
于是要证明的不等式可转化为x+y+1xy≤1x+1y+xy；
其中log_ab=x≥1，log_bc=y≥1，
由（Ⅰ）的结论可得，要证明的不等式成立． 点评本题考查不等式的证明，要掌握不等式证明常见的方法，如做差法、放缩法；其次注意（Ⅱ）证明在变形后用到（Ⅰ）的结论，这个高考命题考查转化思想的一个方向．

 

（Ⅰ）设x≥1，y≥1，证明x+y+1xy≤1x+1y+xy；
（Ⅱ）1≤a≤b≤c，证明log_ab+log_bc+log_ca≤log_ba+log_cb+log_ac．