Question

求解一道高数曲面积分的问题

Answer 1

因为cosadS=dydz，cosbdS=dzdx，cosrdS=dxdy，
所以原式=∫∫〔s〕【xzdydz+xxydzdx+yyzdxdy】★
用高斯公式来算。
设P=xz，Q=xxy，R=yyz，
则P'x=z，Q'y=xx，R'z=yy。
设封闭曲面s围成的空间区域为D。
则式子★化成的三重积分为
★=∫∫∫〔D〕【z+xx+yy】dv★★
求两个曲面的交线得到z=1上的圆xx+yy=1，
故空间区域D在xoy面的投影区域是圆域xx+yy《1在第一象限的部分。
则三重积分★★化为
★★=∫〔0到π/2〕dt∫〔0到1〕rdr∫〔0到rr〕【z+rr】dz★★★
其中z的积分上限由z=xx+yy=rr得来。
计算积分值得到
★★★=(π/2)∫〔0到1〕r【(rrrr/2)+rrrr】dr
=(π/2)*(1/4)
=π/8。